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【题目】如图1,抛物线与x轴交于点A(﹣5,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C(0,﹣5),点P是抛物线上的动点,连接PA、PC,PC与x轴交于点D.

(1)求该抛物线所对应的函数解析式;

(2)若点P的坐标为(﹣2,3),请求出此时△APC的面积;

(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点H,交直线AC于点E,如图2.

①若∠APE=∠CPE,求证:

②△APE能否为等腰三角形?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由.

【答案】(1);(2)15;(3)证明见解析;P(﹣1,0),(﹣2,3),().

【解析】

试题分析:(1)设交点式为y=a(x+5)(x+1),然后把C点坐标代入求出a即可;

(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5,作PQ∥y轴交AC于Q,如图1,由P点坐标得到Q(﹣2,﹣3),则PQ=6,然后根据三角形面积公式,利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算;

(3)①由∠APE=∠CPE,PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形,则AH=DH,设P(x,),则OH=﹣x,OD=﹣x﹣DH,通过证明△PHD∽△COD,利用相似比可表示出DH=,则,则解方程求出x可得到OH和AH的长,然后利用平行线分线段成比例定理计算出

②设P(x,),则E(x,﹣x﹣5),分类讨论:当PA=PE,易得点P与B点重合,此时P点坐标为(﹣1,0);当AP=AE,如图2,利用PH=HE得到,当E′A=E′P,如图2,AE′=E′H′=(x+5),P′E′=,则,然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标.

试题解析:(1)解:设抛物线解析式为y=a(x+5)(x+1),把C(0,﹣5)代入得a51=﹣5,解得a=﹣1,所以抛物线解析式为y=﹣(x+5)(x+1),即

(2)解:设直线AC的解析式为y=mx+n,把A(﹣5,0),C(0,﹣5)代入得,解得,∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5,作PQ∥y轴交AC于Q,如图1,则Q(﹣2,﹣3),∴PQ=3﹣(﹣3)=6,∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ5=×6×5=15;

(3)①证明:∵∠APE=∠CPE,而PH⊥AD,∴△PAD为等腰三角形,∴AH=DH,设P(x,),则OH=﹣x,OD=﹣x﹣DH,∵PH∥OC,∴△PHD∽△COD,∴PH:OC=DH:OD,即():5=DH:(﹣x﹣DH),∴DH=,而AH+OH=5,∴,整理得,解得(舍去),∴OH=,∴AH==,∵HE∥OC,∴===

②能.设P(x,),则E(x,﹣x﹣5),当PA=PE,因为∠PEA=45°,所以∠PAE=45°,则点P与B点重合,此时P点坐标为(﹣1,0);

当AP=AE,如图2,则PH=HE,即,解(舍去),(舍去);解(舍去),,此时P点坐标为(﹣2,3);

当E′A=E′P,如图2,AE′=E′H′=(x+5),P′E′==,则,解得(舍去),,此时P点坐标为().

综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣1,0),(﹣2,3),().

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④点A到BC的距离是线段AD
⑤线段AB的长度是点B到AC的距离
⑥线段AB是点B到AC的距离.
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B.3个
C.4个
D.5个

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