Question

1．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是（　　）

①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC
②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点
④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB．

• A． 3个
• B． 4个
• C． 1个
• D． 2个

Answer 1

分析 ①由DE⊥AC，BF⊥AC，可得DE∥BF，又由四边形ABCD是平行四边形，利用△ACD与△ACB的面积相等，即可判定DE=BF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形BFDE是平行四边形；
②由四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，易证得△ADE≌△CBF，则可判定DE∥BF，DE=BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形；
③由四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，F是CD的中点，易证得DF∥BE，DF=BE，继而证得四边形BFDE是平行四边形；
④无法确定DF=BE，只能证得DF∥BE，故不能判定四边形BFDE是平行四边形．

解答 解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S_△ACD=S_△ABC，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DE，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；

②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，AD=CB，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CBF}\\{AD=CB}\\{∠DAE=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE=BF，∠AED=∠BFC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；

③证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB的中点，F是CD的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD，BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形；

④∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB上一点，EF⊥AB，
无法判定DF=BE，
∴四边形BFDE不一定是平行四边形．
故选A．

点评 本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理的应用是解此题的关键．