Question

16．如图1，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．

（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（3）如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段PB有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可知得到∠APO=∠B=90°，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据勾股定理计算即可；
（3）作MH∥AB交PB于H，根据相似三角形的性质得到BF=FH，根据等腰三角形的性质得到PE=EH，得到答案．

解答 （1）证明：由折叠的性质可知，∠APO=∠B=90°，
∴∠APD+∠CPO=90°，又∠APD+∠DAP=90°，
∴∠DAP=∠CPO，又∠D=∠C=90°，
∴△OCP∽△PDA；
（2）解：∵△OCP∽△PDA，面积比为1：4，
∴$\frac{CP}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CP=4，
设AB=x，则AP=x，PD=x-4，
由勾股定理得，AD²+PD²=AP²，即8²+（x-4）²=x²，
解得，x=10，即AB=10；
（3）解：PB=2EF．
作MH∥AB交PB于H，
∴∠PHM=∠PBA，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠PBA，
∴∠APB=∠PHM，
∴MP=MH，又BN=PM，
∴MH=BN，又∵MH∥AB，
∴BF=FH，
∵MP=MH，ME⊥BP，
∴PE=EH，
∴PB=2EF．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方、翻转变换的性质是解题的关键．