Question

2．已知二次函数y=x²+bx+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B（1，0）和点C，顶点为D，直线y=mx+n经过点C和D，
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，当x取什么值时，x²+bx+c＞mx+n？

Answer 1

分析 （1）分别把点A（0，4），点B（1，0）代入二次函数y=x²+bx+c，求出b、c的值即可得出函数解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式求出C、D两点的坐标，画出两函数在同一坐标系内的函数图象，根据函数的图象可得出结论．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=4\\ 1+b+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}c=4\\ b=-5\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为：y=x²-5x+4；

（2）∵y=x²-5x+4=（x-1）（x-4），
∴C（4，0）．
∵当x=-$\frac{-5}{2}$=$\frac{5}{2}$时，y=$\frac{4×4-25}{4}$=-$\frac{9}{4}$，
∴D（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）．
两函数图象如图所示，
由函数图象可知，当x＜$\frac{5}{2}$或x＞4时，x²+bx+c＞mx+n．

点评 本题考查的是二次函数与不等式，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．