Question

18．如图1，在△ABC中，AB=AC，如果AE，AF为∠BAC的三等分线，交底边BC于点E，F．且BE=nEF，那么我们把△ABC叫做n型等腰三角形，若n=2，则△ABC就叫做2等腰E角形．
（1）在n型等腰三角形中，
①求证：BE=CF；
②若AE=BE，求n的值；
（2）如图2，在⊙A中，AB和AC为半径，AE，AF为∠BAC的三等分线，分别交⊙A于点M，N．若△ABC为2型等腰三角形，求$\frac{AB}{BC}$的值；
（3）对于n型等腰三角形，若顶角为锐角，请直接写出n的取值范．

Answer 1

分析 （1）①只要证明△ABE≌△ACF即可解决问题．
②只要证明△AFE∽△BFA，可得$\frac{AF}{BF}$=$\frac{EF}{AF}$，设BE=AE=AF=CF=x，EF=y，即$\frac{x}{x+y}$=$\frac{y}{x}$，即x²-xy-y²=0，即（$\frac{x}{y}$）²-（$\frac{x}{y}$）-1=0，推出$\frac{x}{y}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，由此即可解决问题．
（2）由题意△ABC为2型等腰三角形，可知BE=CF=2EF，设EF=a，则BE=CF=2a，由∠BAM=∠MAN=∠NAC，推出$\widehat{BM}$=$\widehat{NM}$=$\widehat{CN}$，推出∠BCM=∠CMN，∠MBC=∠MAN，BM=MN=CN，推出BC∥MN，由∠MBE=∠EAF，∠BEM=∠AEF，推出∠BME=∠AFE，由∠AEF=∠AFE，推出∠BME=∠BEM，推出BE=BM=MN=2a，由EF∥MN，推出$\frac{AE}{AM}$=$\frac{EF}{MN}$=$\frac{1}{2}$，推出AE=EM，设AE=EM=k，由△BEM∽△AEF，可得$\frac{BE}{AE}$=$\frac{EM}{EF}$，即$\frac{2a}{k}$=$\frac{k}{a}$，推出k=$\sqrt{2}$a，推出AB=AM=2k=2$\sqrt{2}$a，BC=5a，由此即可解决问题．
（3）求出等腰直角三角形是n型等腰三角形时的n的值即可解决问题．

解答 （1）①证明：如图1中，

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAE=∠EAF=∠FAC，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF．

②解：由①可知BE=CF，AE=AF，
∵BE=AE，
∴AF=CF，
∴∠B=∠BAE，设∠B=x则∠AEF=∠AFE=2x，
在△AEF中，∵∠EAF+∠AEF+∠AFE=180°，
∴5x=180°，
∴x=36°，
∴∠FAE=∠B=36°，∵∠AFE=∠AFB，
∴△AFE∽△BFA，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{EF}{AF}$，设BE=AE=AF=CF=x，EF=y，
∴$\frac{x}{x+y}$=$\frac{y}{x}$，
∴x²-xy-y²=0，
∴（$\frac{x}{y}$）²-（$\frac{x}{y}$）-1=0，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍弃），
∴$\frac{BE}{EF}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴n=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

（2）如图2中，连接BM、MN、CN、CM．

∵△ABC为2型等腰三角形，
∴BE=CF=2EF，设EF=a，则BE=CF=2a，
∵∠BAM=∠MAN=∠NAC，
∴$\widehat{BM}$=$\widehat{NM}$=$\widehat{CN}$，
∴∠BCM=∠CMN，∠MBC=∠MAN，BM=MN=CN，
∴BC∥MN，
∵∠MBE=∠EAF，∠BEM=∠AEF，
∴∠BME=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，
∴∠BME=∠BEM，
∴BE=BM=MN=2a，
∵EF∥MN，
∴$\frac{AE}{AM}$=$\frac{EF}{MN}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=EM，设AE=EM=k，
∵△BEM∽△AEF，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{EM}{EF}$，
∴$\frac{2a}{k}$=$\frac{k}{a}$，
∴k=$\sqrt{2}$a，
∴AB=AM=2k=2$\sqrt{2}$a，BC=5a，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

（3）如图3中，当∠BAC=90°时，作EM⊥AB于M，EN⊥AF于N．设BE=a．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴BM=EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∵∠BAE=∠EAF=∠CAF=30°，
在Rt△AME中，AE=2EM=$\sqrt{2}$a，
∵∠EAM=∠EAN，EM⊥AB，EN⊥AF，
∴EM=EN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
在Rt△AEN中，AN=$\sqrt{3}$NE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∵AE=AF=$\sqrt{2}$a，
∴FN=$\sqrt{2}$a-$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴EF=$\sqrt{E{N}^{2}+F{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+（\sqrt{2}a-\frac{\sqrt{6}}{2}a）^{2}}$=（$\sqrt{3}$-1）a，
∴$\frac{BE}{EF}$=$\frac{a}{（\sqrt{3}-1）a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴n=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
由（1）可知，随∠BAC的减小，n的值在减小，且BE＞EF，
∴n型等腰三角形，若顶角为锐角，n的取值范是1＜n＜$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．