Question

11．如图，OA，OB是⊙O的半径，C是$\widehat{AB}$的中点，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足为M，N，求证：AM=BN．

Answer 1

分析 根据C是$\widehat{AB}$的中点求出∠AOC=∠BOC，求出∠CMO=∠CNO=90°，根据AAS推出△CMO≌△CNO，根据全等得出OM=ON，即可得出答案．

解答 证明：连接OC，

∵C是$\widehat{AB}$的中点，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC，
∵CM⊥OA，CN⊥OB，
∴∠CMO=∠CNO=90°，
在△CMO和△CNO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MOC=∠NOC}\\{∠CMO=∠CNO}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△CMO≌△CNO（AAS），
∴OM=ON，
∵OA=OB，
∴AM=BN．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定的应用，能求出△CMO≌△CNO是解此题的关键．