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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,EBC上的一点,以BE为直径的⊙O经过点D.

(1)求证:AC是⊙O的切线;

(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积.(结果保留根号和π

【答案】(1)证明见解析;(22-

【解析】试题分析:(1)由OD=OB∠1=∠ODB,则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1,而∠A=2∠1,所以∠DOC=∠A,由于∠A+∠C=90°,所以∠DOC+∠C=90°,则可根据切线的判定定理得到AC⊙O的切线;

2)解:由A=60°得到C=30°DOC=60°,根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=OD=2,然后利用阴影部分的面积=SCOD-S扇形DOE和扇形的面积公式求解.

试题解析:(1)连接OD

∵OD=OB

∴∠1=∠ODB

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1

∠A=2∠1

∴∠DOC=∠A

∵∠A+∠C=90°

∴∠DOC+∠C=90°

∴OD⊥DC

∴AC⊙O的切线;

2∵∠A=60°

∴∠C=30°∠DOC=60°

Rt△DOC中,OD=2

CD=OD=2

阴影部分的面积=SCOD-S扇形DOE

=×2×2-

=2-

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