Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．

（1）求∠OBC的度数；
（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S_△OCE=S_{四边形OCDB}，求此时P点的坐标；
（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题,直角三角形的性质

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）由抛物线已知，则可求三角形OBC的各个顶点，易知三角形形状及内角．
（2）因为抛物线已固定，则S_{四边形OCDB}固定，对于坐标系中的不规则图形常用分割求和、填补求差等方法求面积，本图形过顶点作x轴的垂线及可将其分为直角梯形及直角三角形，面积易得．由此可得E点坐标，进而可求ED直线方程，与抛物线解析式联立求解即得P点坐标．
（3）PF的长度即为y_F-y_P．由P、F的横坐标相同，则可直接利用解析式作差．由所得函数为二次函数，则可用二次函数性质讨论最值，解法常规．

解答：解：（1）∵y=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
∴由题意得，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）．
在Rt△OBC中，
∵OC=OB=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°．

（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，
此时S_{四边形OCDB}=S_梯形OCDH+S_△HBD，

∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，
∴S_梯形OCDH=

1

2

•（OC+HD）•OH=

7

2

，
S_△HBD=

1

2

•HD•HB=4，
∴S_{四边形OCDB}=

15

2

．
∴S_△OCE=S_{四边形OCDB}=

15

2

=

1

2

•OC•OE，
∴OE=5，
∴E（5，0）．
设l_DE：y=kx+b，
∵D（1，-4），E（5，0），
∴

-4=k+b 0=5k+b

，
解得

k=1 b=-5

，
∴l_DE：y=x-5．
∵DE交抛物线于P，设P（x，y），
∴x²-2x-3=x-5，
解得 x=2 或x=1（D点，舍去），
∴x_P=2，代入l_DE：y=x-5，
∴P（2，-3）．

（3）如图2，

设l_BC：y=ax+t（a≠0），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴

0=3a+t -3=t

，
解得

a=1 t=-3

，
∴l_BC：y=x-3．
∵F在BC上，
∴y_F=x_F-3，
∵P在抛物线上，
∴y_P=x_P²-2x_P-3，
∴线段PF长度=y_F-y_P=x_F-3-（x_P²-2x_P-3），
∵x_P=x_F，
∴线段PF长度=-x_P²+3x_P=-（x_P-

3

2

）²+

9

4

，（1＜x_P＜3），
∴当x_P=

3

2

时，线段PF长度最大为

9

4

．

点评：本题考查了抛物线图象性质、已知两点求直线解析式、直角三角形性质及二次函数最值等基础知识点，适合学生加强练习．