Question

【题目】在ABCD中，AB=1，BC=2，∠B=45°，M为AB的中点．

（1）求tan∠CMD的值；

（2）设N为CD中点，CM交BN于K，求及S△BKC的值．

Answer 1

【答案】（1）tan∠CMD=；（2），.

【解析】

（1）过点M作MF⊥BC于F，交DA的延长线于E，作DG⊥MC交MC的延长线

于G，①求出ME，MF，BF的长，②求出MC的长，③求出ABCD的面积，△MCD的面

积，④由△MCD的面积，求出DG的长，⑤由勾股定理求出CG的长，⑥求出MG的长，

⑦在Rt△MDG中，求出tan∠CMD的值．

（2）易证明△KBM≌△KNC，∴BK=BN，∴

解：（1）过点M作MF⊥BC于F，交DA的延长线于E，作DG⊥MC交MC的延长线于G，

∵在ABCD中，AB=1，BC=2，∠B=45°，M为AB的中点．

∴BM=AM=，∠EAM=∠B=45°，

∴△AEM、△BFM是等腰直角三角形，

∴AE=EM=BF=MF=

∴

∴

∵AE=EM=BF=MF=

∴EF=EM+FM=

∴SABCD=ADEF=，

∵点M是AB的中点，

∴

∵

∴

在Rt△CDG中，由勾股定理得：

∴

在Rt△MDG中，

tan∠CMD=

（2）在ABCD中，M为AB的中点，N为CD中点，

∴BM=CN，

∵AB∥CD，

∴∠MBK=∠CNK，∠BMK=NCK，

在△BMK和△NCK中，

∴△BMK≌△NCK（ASA）

∴BK=NK，MK=CK，

∴

∵MK=CK，

∴