Question

【题目】如图1，已知抛物线y=﹣x2+x﹣4与y轴相交于点A，与x轴相交于B和点C（点C在点B的右侧，点D的坐标为（4，﹣4），将线段OD沿x轴的正方向平移n个单位后得到线段EF．

（1）当n=　 　时，点E或点F正好移动到抛物线上；

（2）当点F正好移动到抛物线上，EF与CD相交于点G时，求GF的长；

（3）如图2，若点P是x轴上方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M，探索是否存在点P，使线段MP长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1或2或5；（2） ；（3）存在点P（，3），使线段MP长度有最大值为5．

【解析】

（1）分点E与点B重合，点E与点C重合，点F在抛物线上三种情况讨论，可求

n的值；

（2）由题意可求直线EF解析式，直线CD解析式，即可求点G坐标，根据两点距离公式

可求GF的长；

（3）由题意可求直线AC解析式，设点，则点,则可用

t表示PM的长度，根据二次函数的性质可求点P的坐标．

（1）∵抛物线与x轴相交于B和点C

∴

∴x1=1，x2=5

∴点B（1，0），点C（5，0）

当点E与点B重合，则n=1，

当点E与点C重合，则n=5

当点F在抛物线上，则

解得：x1=0（不合题意舍去），x2=6

∴F（6，﹣4）

∴n=6﹣4=2

故答案为：1或2或5

（2）∵点F正好移动到抛物线上

∴n=2

∴点E坐标为（2，0）

∵点E（2，0），点F（6，﹣4）

∴直线EF解析式：y=﹣x+2

∵点C（5，0），点D（4，﹣4）

∴直线CD解析式：y=4x﹣20

设点G（x，y）

∵EF与CD相交于点G

∴

解得：

∴点，

∵点，点F（6，﹣4）

∴

（3）存在点P，使线段MP长度有最大值

∵抛物线与y轴相交于点A，

∴当x=0时，y=﹣4

∴点A（0，﹣4）

∵点A（0，﹣4），点C（5，0）

∴直线AC解析式：

设点设点，则点,

∴

∴当时，PM的最大值为5

∴点P坐标为，

∴存在点P，使线段MP长度有最大值为5．