Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.

(1)利用直尺和圆规,作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);

(2)若△OBC是等腰直角三角形,且其腰长为3,求抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下,点P为抛物线对称轴上的一点,则PA+PC的最小值为 .

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）y=x2﹣4x+3；（3）3.

【解析】

（1）利用基本作图，作AB的垂直平分线即可；

（2）根据等腰直角三角形的性质得到OB=OC=3，则C（0，3），B（3，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（3）连接BC交直线l于P，如图，根据两点之间线段最短可判断此时PC+PA的值最小，然后根据等腰直角三角形的性质计算出BC即可．

（1）如图，直线l为所作；

（2）∵△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，即OB=OC=3，∴C（0，3），B（3，0），把C（0，3），B（3，0）分别代入y=x2+mx+n得：，解得：，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（3）连接BC交直线l于P，如图，则PA=PB．

∵PC+PA=PC+PB=BC，∴此时PC+PA的值最小，而BC=OB=3，∴PA+PC的最小值为3．

故答案为：3．