Question

如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．
（1）求证：△BFD≌△CED；
（2）当∠A=90°时，求证：四边形AFDE是正方形．

Answer 1

（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；

（2）答：四边形AFDE是正方形．
证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴四边形AFDE是矩形，
又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF=DE，
∴四边形AFDE是正方形．
分析：（1）利用“HL”证明Rt△BDF≌Rt△CDE；
（2）由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．
点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定和性质及正方形的判定方法的掌握情况．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．