Question

5．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．
（1）如图2，在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10．D是AC上一点（非中点），且D是△ABC的一个准外心，求CD的长．
（2）如图3，在（1）的条件下，∠ABC的平分线交AC于点D．求证：$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AB}{BC}$．
（3）在（2）的条件下，点P是△ABC的一个准外心，且点P在直线BD上，在图4中作出点P并求出BP的长．

Answer 1

分析 （1）根据D是△ABC的一个准外心，于是分三种情况：①若DB=DA，设DA=DB=x，则x²=6²+（8-x）²，即可求得CD=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，②若DA=DC，即可求得结果；③若DC=DB，由图知，P在AB上，不可能在AC上；
（2）如图3，过C作CE∥AB交BD的延长线于E，则∠E=∠ABD，由于BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠CBD，等量代换得到∠E=∠CBD，推出CE=BC，由△ABD∽△CED，即可得到结论；
（3）如图4，分两种情况：①作线段AB的垂直平分线交AB于E，交BD于P，则点P即为所求，推出△PEB∽△BCD，得到比例式$\frac{BE}{BC}=\frac{BP}{BD}$，代入有关数据即可求得PB=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，②作线段BC的垂直平分线交BC于F，交BD于P′，则点P′即为所求，根据三角形的中位线的性质可得结果．

解答 解：（1）∵BC=6，AB=10，AC=8，D是△ABC的一个准外心，
①若DB=DA，设DA=DB=x，则x²=6²+（8-x）²，
∴x=$\frac{25}{4}$，即DA=$\frac{25}{4}$，
∴CD=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，
②若DA=DC，则DA=DC=$\frac{1}{2}$AC=4，
③若DC=DB，由图知，P在AB上，不可能在AC上．
故DC=4或$\frac{7}{4}$；

（2）如图3，过C作CE∥AB交BD的延长线于E，
则∠E=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴CE=BC，
∵CE∥AB，
∴△ABD∽△CED，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CE}$，
即$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}$；

（3）如图4，作线段AB的垂直平分线交AB于E，交BD于P，
则点P即为所求，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠PEB=∠C=90°，
∴△PEB∽△BCD，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BP}{BD}$，
由（2）知$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{10}{6}$=$\frac{5}{3}$，
∴AD=5，CD=3，
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵BE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴$\frac{5}{6}=\frac{PB}{3\sqrt{5}}$，
∴PB=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
作线段BC的垂直平分线交BC于F，交BD于P′，
则点P′即为所求，
∴P′F∥CD，
∴P′B=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键．