Question

12．若一个直角三角形三条边长都是正整数，且一条直角边与斜边的和为25，试求出这个直角三角形的三边长．

Answer 1

分析 直接利用假设出三边长，进而利用勾股定理结合完全平方数的性质得出答案．

解答 解：设这个直角三角形两直角边与斜边长分别为a，b，c，依据题意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+c=25}\\{{c}^{2}-{a}^{2}={b}^{2}}\end{array}\right.$，
从而易得：25（c-a）²=b²，
∵1≤c-a＜25，且c-a必须为完全平方数，
而c-a，c+a的奇偶性相同，
于是得到：
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=25}\\{c-a=1}\\{{c}^{2}-{a}^{2}={b}^{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c+a=25}\\{c-a=9}\\{{c}^{2}-{a}^{2}={b}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=12}\\{b=5}\\{c=13}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=15}\\{c=17}\end{array}\right.$．

点评 此题主要考查了勾股定理以及完全平方数的性质，正确分类讨论是解题关键．