Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q，以PQ为边作Rt△PQF，使∠PQF=90°，点F在点Q的下方，且QF=1．设线段PQ的长度为d，点P的横坐标为m．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）求d与m之间的函数关系式．
（3）当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，求d的值．
（4）以OB为边作等腰直角三角形OBD，当0＜m＜3时，直接写出点F落在△OBD的边上时m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点B（3，0）代入抛物线y=a（x﹣1）2+4，

得：4a+4=0，

解得：a=﹣1，

∴抛物线的函数表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，

即抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：对于抛物线y=﹣x2+2x+3，

当x=0时，y=3；

当y=0时，x=﹣1，或x=3，

∴C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0），

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

根据题意得：，

解得：k=﹣1，b=3，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，

∵点P的坐标为：（m，﹣m2+2m+3），

∴点Q的纵坐标坐标为：﹣m2+2m+3，

则﹣x+3=﹣m2+2m+3，x=m2﹣2m，

∴点Q的坐标为（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），

∴当﹣1≤m＜0时，如图1，

d=m2﹣2m﹣m=m2﹣3m，

当0＜x＜3时，如图2，

d=m﹣（m2﹣2m）=﹣m2+3m

∴d与m之间的函数关系式为：d=；

（3）

解：当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，点P与点Q关于y轴对称，

∴横坐标互为相反数，

∴m2﹣2m+m=0，

解得：m=1，或m=0（不合题意，舍去），

∴m=1，

∴d=3﹣1=2；

（4）

解：分四种情况：

①情形一：如图4所示，

∵C点的坐标为（0，3），

将y=3代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=0（舍去），x2=2，

∴P点的横坐标m=2；

②情形二：如图5所示：过D2点作D2G⊥CO交QF与N点，

∵B（0，3）

∴D2（，），

∵CO=3，QF=1，QF∥CO，

∴=，

∴D2N=，

∴Q（1，2），

将y=2代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=，x2=（舍去），

∴m=；

②情形三：如图6所示：过D2点作D2G⊥OB，

∵B（0，3）

∴D2（，），

∵BG=，QF=1，QF∥CO，

∴=，

∴BF=1，

∴Q（1，1），

将y=1代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=，x2=（舍去），

∴m=；

④情形四：如图7所示：

∵CD2=6，QF=1，BC=，且QF∥CD2，

∴，

∴BQ=，

∴Q点纵坐标为，即P点纵坐标，

将y=代入函数y=﹣x2+2x+3得x1=，x2=（舍去），

∴m=．

综上所述：当0＜m＜3时，点F落在△OBD的边上时m的值为：2，或，或，或．

【解析】（1）把点B（3，0）代入抛物线y=a（x﹣1）2+4，求出a的值即可；
（2）先求出直线BC的解析式，由点Q的纵坐标求出横坐标，求出PQ，即可得出结果；
（3）由题意得出点P与点Q关于y轴对称，得出方程，解方程即可；
（4）分两种情况：①当点F落在△OBD的直角边上时，延长QF交OB于G，证出△OFG是等腰直角三角形，得出OG=FG，由FG=QG﹣QF，得出方程，解方程即可；
②当点F落在△OBD的斜边上时，证出△BQF是等腰直角三角形，得出BF=QF=1，OF=2，得出方程，解方程即可．