Question

【题目】如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC于点D．点P在边AB上运动，过点P作PE∥BC，与边AC交于点E，连结ED，以PE、ED为邻边作PEDF．设PEDF与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x＜6）．

（1）求线段PE的长．（用含x的代数式表示）
（2）当四边形PEDF为菱形时，求x的值．
（3）求y与x之间的函数关系式．
（4）设点A关于直线PE的对称点为点A′，当线段A′B的垂直平分线与直线AD相交时，设其交点为Q，当点P与点Q位于直线BC同侧（不包括点Q在直线BC上）时，直接写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵PE∥BC，

∴△APE∽△ABC，

又∵△ABC是等边△，

∴△APE是等边三角形，

∴PE=AP=x（0＜x＜6）；

（2）

解：∵四边形PEDF为菱形，

∴PE=DE=x，

又∵△APE是等边三角形，则AE=PE，

∴AE=DE，

∴∠DAC=∠ADE，

又∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°，

∴∠EDC=∠C，

∴DE=EC，

∴DE=EC=AE=AC=AB=3．

即x=3；

（3）

解：当x=3，即P是AB的中点时，PE=BC，则F与B重合．

则当0＜x≤3时，重合部分就是平行四边形PEDF，如图1．

等边△ABC中，AD=ABsin60°=6×=3，等边△APE中，AM=APsin60°=x，

则DM=3﹣x，

则y=x（3﹣x），即y=﹣x2+3x；

当3＜x＜6时，重合部分是梯形PEDB，如图2．

则y=（PE+BD）DM=（x+3）（3﹣x），即y=﹣；

（4）

解：情形一：当A′在BC上方时，如图3所示，

当A′B的中垂线正好经过点D时，A′D=BD=3，

则AA′=3-3．

则AM=AA′=（3-3），

∴x=AP==3-．

则x的取值范围是：0＜x＜3-．

情形二：当A′在BC上时，PQ∥AD，如图4所示，

AP=A′P=BP=AB=×6=3．

情形三：当A′在BC下方时，如图5所示，

当A′B的中垂线正好经过点D时，A′D=BD=3，

则AA′=3+3．

则AM=AA′=（3+3），

∴x=AP==3+．

则x的取值范围是：3＜x＜3+．

综上所示，x的取值范围为0＜x＜3﹣或3＜x＜3+．

【解析】（1）证明△APE是等边三角形，即可求解；
（2）四边形PEDF为菱形时，AE=DE，然后证明DE=EC即可得到E是AC的中点，则P是AB的中点，据此即可求解；
（3）当x=3，即P是AB的中点时，PE=BC，则F与B重合，当0＜x≤3时，重合部分就是平行四边形PEDF，当3＜x≤6时，重合部分是梯形PEDB，根据平行四边形和梯形的面积公式即可求解；
（4）首先求得当A'B的中垂线正好经过点D时x的值，据此即可求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的性质的相关知识，掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，以及对平行四边形的性质的理解，了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．