【题目】如图,已知抛物线的对称轴是y轴,且点(2,2),(1,)在抛物线上,点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点,过P作PA⊥x轴于A,PC⊥y轴于C,延长PC交抛物线于E,设M是O关于抛物线顶点N的对称点,D是C点关于N的对称点.
(1)求抛物线的解析式及顶点N的坐标;
(2)求证:四边形PMDA是平行四边形;
(3)求证:△DPE∽△PAM,并求出当它们的相似比为时的点P的坐标.
【答案】(1), N(0,1);(2)证明见解析;(3)证明见解析,P(
,4)或(﹣
,4).
【解析】
试题分析:(1)由已知点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式,可求得其顶点N的坐标;
(2)设P点横坐标为t,则可表示出C、D、M、A的坐标,从而可表示出PA和DM的长,由PA=DM可证得结论;
(3)设P点横坐标为t,在Rt△PCM中,可表示出PM,可求得PM=PA,可知四边形PMDA为菱形,由菱形的性质和抛物线的对称性可得∠PDE=∠APM,可证得结论,在Rt△AOM中,用t表示出AM的长,再表示出PE的长,由相似比为可得到关于t的方程,可求得t的值,可求得P点坐标.
试题解析:(1)解:∵抛物线的对称轴是y轴,∴可设抛物线解析式为 ,∵点(2,2),(1,
)在抛物线上,∴
,解得:
,∴抛物线解析式为
,∴N点坐标为(0,1);
(2)证明:设P(t,),则C(0,
),PA=
,∵M是O关于抛物线顶点N的对称点,D是C点关于N的对称点,且N(0,1),∴M(0,2),∵OC=
,ON=1,∴DM=CN=
﹣1=
,∴OD=
,∴D(0,
),∴DM=2﹣(
)=
=PA,且PM∥DM,∴四边形PMDA为平行四边形;
(3)解:同(2)设P(t,),则C(0,
),PA=
,PC=|t|,∵M(0,2),∴CM=
﹣2=
,在Rt△PMC中,由勾股定理可得PM=
=
=
=
=PA,且四边形PMDA为平行四边形,∴四边形PMDA为菱形,∴∠APM=∠ADM=2∠PDM,∵PE⊥y轴,且抛物线对称轴为y轴,∴DP=DE,且∠PDE=2∠PDM,∴∠PDE=∠APM,且
,∴△DPE∽△PAM;∵OA=|t|,OM=2,∴AM=
,且PE=2PC=2|t|,当相似比为
时,则
=
,即
=
,解得t=
或t=﹣
,∴P点坐标为(
,4)或(﹣
,4).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm,点P从点A出发,沿AB方向以每秒 cm的速度向终点B运动;同时,动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动,将△PQC沿BC翻折,点P的对应点为点P′,设Q点运动的时间为t秒,若四边形QPCP′为菱形,则t的值为 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x﹣3)(x+1),则b、c的值为( )
A.b=3,c=﹣1
B.b=﹣6,c=2
C.b=﹣6,c=﹣4
D.b=﹣4,c=﹣6
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