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【题目】如图,已知抛物线的对称轴是y轴,且点(2,2),(1,)在抛物线上,点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点,过P作PAx轴于A,PCy轴于C,延长PC交抛物线于E,设M是O关于抛物线顶点N的对称点,D是C点关于N的对称点.

(1)求抛物线的解析式及顶点N的坐标;

(2)求证:四边形PMDA是平行四边形;

(3)求证:DPE∽△PAM,并求出当它们的相似比为时的点P的坐标.

【答案】(1) N(0,1);(2)证明见解析;(3)证明见解析,P(,4)或(﹣,4).

【解析】

试题分析:(1)由已知点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式,可求得其顶点N的坐标;

(2)设P点横坐标为t,则可表示出C、D、M、A的坐标,从而可表示出PA和DM的长,由PA=DM可证得结论;

(3)设P点横坐标为t,在RtPCM中,可表示出PM,可求得PM=PA,可知四边形PMDA为菱形,由菱形的性质和抛物线的对称性可得PDE=APM,可证得结论,在RtAOM中,用t表示出AM的长,再表示出PE的长,由相似比为可得到关于t的方程,可求得t的值,可求得P点坐标.

试题解析:(1)解:抛物线的对称轴是y轴,可设抛物线解析式为 点(2,2),(1,)在抛物线上,,解得抛物线解析式为N点坐标为(0,1);

(2)证明:设P(t,),则C(0,),PA=M是O关于抛物线顶点N的对称点,D是C点关于N的对称点,且N(0,1),M(0,2),OC=,ON=1,DM=CN=﹣1=OD=D(0,),DM=2﹣()==PA,且PMDM,四边形PMDA为平行四边形;

(3)解:同(2)设P(t,),则C(0,),PA=,PC=|t|M(0,2),CM=﹣2=,在RtPMC中,由勾股定理可得PM= = = ==PA,且四边形PMDA为平行四边形,四边形PMDA为菱形,∴∠APM=ADM=2PDM,PEy轴,且抛物线对称轴为y轴,DP=DE,且PDE=2PDM,∴∠PDE=APM,且∴△DPE∽△PAM;OA=|t|,OM=2,AM=,且PE=2PC=2|t|,当相似比为时,则=,即 =,解得t=或t=﹣P点坐标为(,4)或(﹣,4).

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