Question

如图，已知PA，PB切⊙O于A、B两点，连AB，∠APB=60°AB=

3

，试求：
（1）求⊙O的半径；
（2）由PA，PB，

AB

围成图形（即阴影部分）的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）如图，连接OA．利用切线的性质和直角三角形的性质求得∠OAC=30°，AC=

1

2

AB，通过解直角△AOC可以求得OA的长度．
（2）图中阴影部分的面积=两个直角三角形的面积之和-扇形的面积．

解答：解：（1）如图，连接OA、OB．
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，∠APB=60°
∴OP垂直平分AB，∠OAP=∠OBP=90°，∠APC=∠BPC=30°，
∵AB=

3

，
∴AC=

1

2

AB=

3

2

，
∴OA=

AC

cos30°

=

3 2

3 2

=1，即⊙O的半径是1；

（2）∵由（1）知，⊙O的半径是1．
∴在直角△OAC中，OC=

1

2

OA=

1

2

．
∵在直角△OAP中，AC⊥OP，OA=1，
∴OA²=OC•OP，即1=

1

2

OP，则OP=2．
∴S_阴影部分=2S_△AOP-S_扇形OAB=2×

1

2

OP•AC=2×

1

2

×2×

3

2

-

120π×12

360

=

3

-

π

3

，即由PA，PB，

AB

围成图形（即阴影部分）的面积是

3

-

π

3

．

点评：本题考查了切线的性质和扇形面积的计算．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．