Question

如图所示，直角三角形内部有一矩形，求矩形的最大面积．

Answer 1

考点：二次函数的应用,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：作OE⊥PQ于E交AB于F，由勾股定理求出PQ的值，设EF为x，则表示出OF，由△AOB∽△POQ，由相似三角形的性质表示出AB，设矩形的面积为y，由据的面积公式表示出y与x的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

解答：解：在Rt△POQ中，由勾股定理，得
PQ=50m．
作OE⊥PQ于E交AB于F，
∴

50OE

2

=

30×40

2

，
∴OE=24m．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥PQ，
∴△AOB∽△POQ，
∴

OF

OE

=

AB

PQ

，
设EF为x，则OF=24-x，
∴

24-x

24

=

AB

50

，
∴AB=

25(24-x)

12

，
设矩形的面积为y，由题意，得
y=x×

25(24-x)

12

，
∴y=-

25

12

（x-12）²+300
∵a=-

25

12

＜0，
∴当x=12时，y_最大=300．
答：矩形的最大面积为300．

点评：本题考查了勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定与性质的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．