Question

3．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出直线AB的解析式，从而根据点E的横坐标为0，可得其纵坐标；
（2）根据抛物线过原点，可设抛物线为y=mx²+nx，代入A、B的坐标，即可确定抛物线解析式；
（3）只需确定边OB上高的最大值即可，设过点N且与直线OB平行的直线解析式为y=x+c，当且仅当直线y=x+c与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x相切时△BON的面积最大，确定取得最大时点N的坐标，再由S_△BON=S_△OCB-S_△ODN-S_梯形NDCB，即可得出答案．

解答 解：（1）设点A、B所在的直线解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=2}\\{6k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
即直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3，
令x=0，得y=3，
故E（0，3）．

（2）∵所求抛物线过原点，
∴设所求抛物线为y=mx²+nx，
将点A、B的坐标代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{4m-2n=2}\\{36m+6n=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}}\\{n=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x．
（3）不难求出直线OB的解析式为y=x，
要使△BON的面积最大，只需OB边上的高最大即可，
设过点N且与直线OB平行的直线解析式为y=x+c，
当且仅当直线y=x+c与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x相切时△BON的面积最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，消去y并整理得x²-6x-4c=0，
当△（-6）²-4×1×（-4c）=0时，方程x²-6x-4c=0的解为x=3，
将x=3代入y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x，得y=$\frac{3}{4}$，
∴N（3，$\frac{3}{4}$），
过点B、N分别作BC⊥x轴于点C，ND⊥x轴于点D，
S_△BON=S_△OCB-S_△ODN-S_梯形NDCB=$\frac{1}{2}$×6×6-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{4}$+6）×3=$\frac{27}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的综合，涉及的知识点较多，难点在第三问，联立抛物线与直线解析式确定点N的坐标是关键，注意数形结合思想的运用．