Question

7．如图1，已知Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②在旋转过程中，当AE取最大值时，请直接写出AF、AE、EF之间的数量关系（写出等式即可）．

Answer 1

分析 （1）利用全等三角形△BDG≌△ADE，证明BG=AE；
（2）①与（1）同理，证明△BDG≌△ADE，可得BG=AE，结论依然成立；
②在旋转过程中，当AE取最大值时，点A、D、E共线，△AEF构成直角三角形，因此AF、AE、EF之间的数量关系满足勾股定理．

解答 解：（1）猜想：BG=AE．
证明：在△BDG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}BD=AD\\∠BDG=∠ADE=90°\\ DG=ED\end{array}\right.$
∴△BDG≌△ADE（SAS）
∴BG=AE．

（2）①成立．
证明：如答图1，连接AD．

在Rt△ABC中，AB=AC，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°．
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}BD=AD\\∠BDG=∠ADE=90°\\ DG=ED\end{array}\right.$
∴△BDG≌△ADE（SAS）
∴BG=AE．
②AF²=AE²+EF²．理由如下：
在△ADE中，∵AE＜AD+DE，
∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．
作出图形如下：

此时△AEF是直角三角形，∴AF²=AE²+EF²．

点评 本题是几何综合题，考查了全等三角形、正方形、等腰直角三角形、旋转、勾股定理等知识点，解题关键是理解（2）②问中“在旋转过程中，当AE取最大值时”的含义．