Question

17．已知代数式：A=$\frac{3}{x+2}$，B=$\frac{x-2}{x+3}÷\frac{{{x^2}-4}}{2x+6}-\frac{5}{x+2}$．
（1）试证明：若A、B均有意义，则它们的值互为相反数；
（2）若代数式A、B中的x是满足不等式3（x-3）＜6-2x的正整数解，求A-B的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意证明A+B=0即可；
（2）先根据分式混合运算的法则求出A-B的式子，再根据求出不等式3（x-3）＜6-2x的解集，根据x是满足不等式3（x-3）＜6-2x的正整数解求出x的值，代入原式进行计算即可．

解答 （1）证明：∵A=$\frac{3}{x+2}$，B=$\frac{x-2}{x+3}$÷$\frac{{x}^{2}-4}{2x+6}$-$\frac{5}{x+2}$，
∴A+B=$\frac{3}{x+2}$+$\frac{x-2}{x+3}$÷$\frac{{x}^{2}-4}{2x+6}$-$\frac{5}{x+2}$
=$\frac{3}{x+2}$+$\frac{x-2}{x+3}$•$\frac{2（x+3）}{（x+2）（x-2）}$-$\frac{5}{x+2}$
=$\frac{3}{x+2}$+$\frac{2}{x+2}$-$\frac{5}{x+2}$
=$\frac{3+2-5}{x+2}$
=0；

（2）解：∵A=$\frac{3}{x+2}$，B=$\frac{x-2}{x+3}$÷$\frac{{x}^{2}-4}{2x+6}$-$\frac{5}{x+2}$，
∴A-B=$\frac{3}{x+2}$-$\frac{x-2}{x+3}$÷$\frac{{x}^{2}-4}{2x+6}$+$\frac{5}{x+2}$
=$\frac{3}{x+2}$-$\frac{2}{x+2}$+$\frac{5}{x+2}$
=$\frac{6}{x+2}$，
解不等式3（x-3）＜6-2x得，x＜3．
∵x是满足不等式3（x-3）＜6-2x的正整数解，
∴x₁=1，x₂=2（舍去）
∴当x=1时，原式=$\frac{6}{1+2}$=2．

点评 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．