Question

6．已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+x的对称轴为直线x=2，顶点为A
（1）求抛物线的表达式及顶点A的坐标；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP．
①当OA⊥OP时，求OP的长；
②过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B，联结OB，当∠OAP=∠OBP时，求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标即可；
（2）设对称轴与x轴的交点为E，①求出∠OAE=∠EOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
②过点B作AP的垂线，垂足为F，根据抛物线解析式设出点B的坐标，然后表示出BF、EF，在△AOE和△POB中，利用相等的锐角的正切值相等列式求出$\frac{AE}{OE}$=$\frac{BP}{OP}$=$\frac{1}{2}$，再求出△BPF与△POE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解得到a的值，从而得解．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+x的对称轴为直线x=2，
∴-$\frac{1}{2a}$=2，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的表达式为：y=-$\frac{1}{4}$x²+x，
∴顶点A的坐标为（2，1）；

（2）设对称轴与x轴的交点为E．
①如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE=$\frac{OE}{AE}$，tan∠EOP=$\frac{PE}{OE}$，
∵OA⊥OP，
∴∠OAE=∠EOP，
∴$\frac{OE}{AE}$=$\frac{PE}{OE}$，
∵AE=1，OE=2，
∴$\frac{2}{1}$=$\frac{PE}{2}$，
解得PE=4，
∴OP=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

②如图，过点B作AP的垂线，垂足为F，
设点B（a，-$\frac{1}{4}$a²+a），则BF=a-2，EF=-（-$\frac{1}{4}$a²+a）=$\frac{1}{4}$a²-a，
在Rt△AOE和Rt△POB中，cot∠OAE=$\frac{AE}{OE}$，cot∠OBP=$\frac{BP}{OP}$，
∵∠OAE=∠OBP，
∴$\frac{AE}{OE}$=$\frac{BP}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠BFP=∠PEO，∠BPF=∠POE，
∴△BPF∽△POE，
∴$\frac{BF}{PE}$=$\frac{BP}{OP}$=$\frac{PF}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∵OE=2，
∴PF=1，
∴PE=$\frac{1}{4}$a²-a+1，
∴$\frac{a-2}{\frac{1}{4}{a}^{2}-a+1}$=$\frac{1}{2}$，
整理得，a²-12a+20=0，
解得a₁=10，a₂=2（不合题意，舍去），
∴点B的坐标是（10，-15）．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，难点在于（2）②作辅助线构造出相似三角形并最终列出关于点B的横坐标的比例式．