分析 （1）由二次函数解析式，利用对称轴公式求出抛物线的对称轴，确定出D点的坐标即可；
（Ⅱ）设平移后的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+k，令y=0求出x的值，确定出A与B坐标，利用两点间的距离公式表示出AB2，AC2+BC2，根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出此时抛物线的解析式；
（Ⅲ）利用平移后的抛物线只有一个不动点，故此方程有两个相等的实数根，得出判别式△=4-2h）2-4（h2-4k）=0，进而求出k与h，a的关系即可得出顶点（h，k）在直线y=x-1上．
解答 
解：（1）由y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x得：x=-$\frac{b}{2a}$=3，
则D（3，0）；
（Ⅱ）如图，设平移后的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+k，
则C（0，k），即OC=k，
令y=0，即-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+k=0，
解得：x1=3+$\sqrt{4k+9}$，x2=3-$\sqrt{4k+9}$，
∴A（3-$\sqrt{4k+9}$，0），B（3+$\sqrt{4k+9}$，0），
∴AB2=（$\sqrt{4k+9}$+3-3+$\sqrt{4k+9}$）2=16k+36，
AC2+BC2=k2+（3-$\sqrt{4k+9}$）2+k2+（3+$\sqrt{4k+9}$）2=2k2+8k+36，
∵AC2+BC2=AB2，即2k2+8k+36=16k+36，
解得：k1=4，k2=0（舍去），
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4．
（Ⅲ）设平移后的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-h）2+k，
由不动点的定义，得方程t=-$\frac{1}{4}$（t-h）2+k，
即t2+（4-2h）t+h2-4k=0．
∵平移后的抛物线只有一个不动点，
∴此方程有两个相等的实数根．
∴判别式△=（4-2h）2-4（h2-4k）=0，
∴1-h+k=0，
∴k=h-1，
∴顶点（h，k）在直线y=x-1上．
点评 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，以及二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
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