Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=16，BC=12，顺次连结各边中点，得菱形A₁B₁C₁D₁；再顺次连结菱形A₁B₁C₁D₁的各边中点，得矩形A₂B₂C₂D₂；再顺次连结矩形A₂B₂C₂D₂的各边中点，得菱形A₃B₃C₃D₃，…这样继续下去．则图中的四边形A₈B₈C₈D₈的周长等于$\frac{7}{2}$，图中的四边形A₉B₉C₉D₉的面积等于$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 根据菱形和矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形周长和面积，得出规律求出即可．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=16，BC=12，顺次连结矩形形ABCD各边中点，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是菱形，矩形对角线长=$\sqrt{1{6}^{2}+1{2}^{2}}$=20，
∴A₁B₁=10，
∴四边形A₁B₁C₁D₁的周长是：10×4=40，
同理可得出：A₂D₂=$\frac{1}{2}$BC=12×$\frac{1}{2}$=6，C₂D₂=$\frac{1}{2}$AB=16×6=8，
∴四边形A₂B₂C₂D₂的周长是：2（6+8）=28，
∴A₄D₄=3，C₄D₄=4，
∴四边形A₄B₄C₄D₄的周长是：2（3+4）=14，…，
∴四边形A₈B₈C₈D₈的周长=$\frac{1}{8}$×28=$\frac{7}{2}$；
根据题意得：四边形A₁B₁C₁D₁的面积=矩形ABCD面积的一半，
四边形A₂B₂C₂D₂的面积=四边形A₁B₁C₁D₁的面积的一半=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面积，…，
∴四边形A₉B₉C₉D₉的面积=$（\frac{1}{2}）^{9}$×矩形ABCD的面积=（$\frac{1}{2}$）⁹×16×12=$\frac{3}{8}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{8}$．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识；根据已知得出周长和面积的变化规律是解题关键．