Question

10．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，已知正方形ABCD的面积S₁为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S₂，S₃，…，S_n（n为正整数），那么第2015个正方形的面积S₂₀₁₅为2²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 由题意可以知道第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为$\sqrt{2}$，第三个正方形的边长为2，就有第n个正方形的边长为$\sqrt{2}$^（n-1），再根据正方形的面积公式就可以求出结论．

解答 解：第一个正方形的面积为1=，故其边长为1=2⁰；
第二个正方形的边长为$\sqrt{2}$，其面积为2=2¹；
第三个正方形的边长为2，其面积为4=2²；
第四个正方形的边长为2$\sqrt{2}$，其面积为8=2³；
…
第n个正方形的边长为（$\sqrt{2}$）^n-1，其面积为2^n-1．
当n=2015时，
S₂₀₁₅=2^2015-1=2²⁰¹⁴．
故答案为：2²⁰¹⁴．

点评 本题考查了正方形的面积公式的运用以及正方形的性质及勾股定理得运用，是一道探索规律的试题，解答本题时找到正方形的面积与边长的变化规律是关健．