Question

20．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为3，则等边三角形ABC的边长为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．

解答 解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC=2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC=$\frac{1}{3}$×360°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{180°-∠BOC}{2}$=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∵⊙O的半径为3，
∴OB=3，
∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2BD=3$\sqrt{3}$，
∴等边△ABC的边长为3$\sqrt{3}$，
故选C．

点评 本题主要考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识．此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法．