Question

【题目】某商场试销一种商品，成本为每件200元，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如下表：

销售单价x（元）	…	230	235	240	245	…
销售量y（件）	…	440	430	420	410	…

（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；
（2）设商场所获利润为w元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据所给数据可知y与x的图象是一条直线．设y与x的函数关系式为y=kx+b．

将x=230，y=440；x=235，y=430代入y=kx+b得：，解得：

∴y=﹣2x+900

经验证，x=240，y=420；x=245，y=410都满足上述函数关系式

∴y与x的函数关系式为y=﹣2x+900；

（2）

解：由题意得：200≤x≤200×（1+50%），

∴200≤x≤300．

W=（x﹣200）（﹣2x+900）=﹣2（x﹣325）2+31250

∵a=﹣2＜0，

∴抛物线开口向下．

∵200≤x≤300，在对称轴x=325的左侧，

∴W随x的增大而增大．

∴当x=300时，W有最大值，W最大=﹣2×（300﹣325）2+31250=30000元．

答：商品的销售单价定为300元时，才能使所获利润最大，最大利润时30000元．

【解析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）先求得单价的定价范围，然后根据利润=每件获利×件数列出利润的函数关系式，然后根据自变量的取值和二次函数的对称性即可求得最大利润．