Question

【题目】如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=，BP=4，求⊙O的半径；
（2）求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）

解：CD⊥AB，

∴PC=PD=CD=，

如图，连接OC，

设⊙O的半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r，

在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，

即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=．

（2）

证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，

∴∠ABF=∠CPB，

∵CD⊥AB，

∴∠ABF=∠CPB=90°，

∴直线BF是⊙O的切线；

（3）

解：四边形AEBF是平行四边形；

理由：如图2所示：

∵CD⊥AB，垂足为P，

∴当点P与点O重合时，CD=AB，

∴OC=OD，

∵AE是⊙O的切线，

∴BA⊥AE，

∵CD⊥AB，

∴DC∥AE，

∵AO=OB，

∴OC是△ABE的中位线，

∴AE=2OC，

∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．

∴∠D=∠F，

∴CD∥BF，

∵AE∥BF，

∵OA=OB，

∴OD是△ABF的中位线，

∴BF=2OD，

∴AE=BF，

∴四边形AEBF是平行四边形．

【解析】（1）根据垂径定理求得PC，连接OC，根据勾股定理求得即可；
（2）求得△PBC∽△BFA，根据相似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可证得结论；
（3）通过证得AE=BF，AE∥BF，从而证得四边形AEBF是平行四边形．
此题考查了圆的综合应用，涉及知识点有垂径定理，勾股定理，相似三角形性质和平行四边形判定.