Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．

（1）填空：点A的坐标为（　 ， 　 ），点B的坐标为（　 ， 　 ），点C的坐标为（　 ， 　 ），点D的坐标为（　 ， 　 ）；
（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；
②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；
③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0，则y=2，

∴A（0，2），

令y=0，则﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣3，x2=1（舍去），

∴B（﹣3，0），C（1，0），

由y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+可知D（﹣1，），

故答案为：0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、；

（2）

解：①设P（n，0），则E（n，﹣n2﹣n+2），

∵PE=PC，

∴﹣n2﹣n+2=1﹣n，解得n1=﹣，n2=1（舍去），

∴当n=﹣时，1﹣n=，

∴E（﹣，），

②如图1，设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于K，

根据E、D的坐标求得直线ED的斜率为，根据E、A的坐标求得直线EA的斜率为﹣，

∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰三角形，

∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，

根据等腰三角形的性质可知，EF是E点到坐标轴的距离，

∴EF=或；

③根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，

如图2，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC于R，

此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，

∵A（0，2），B（﹣3，0），C（1，0），

∴AB==，AC==，

∵S△AOB=×OE×AB=OAOB，

∴OE=，

∵△OEM∽△ABO，

∴==，即==，

∴OM=，EM=

∴E（﹣，），

同理求得F（，），

即△PQR周长的最小值为EF==．

　

【解析】（1）令x=0，求得A（0，2），令y=0，求得B（﹣3，0），C（1，0），由y=﹣x2﹣x+2转化成顶点式可知D（﹣1，）；
（2）①设P（n，0），则E（n，﹣n2﹣n+2），根据已知条件得出﹣n2﹣n+2=1﹣n，解方程即可求得E的坐标；
②根据直线ED和EA的斜率可知直线与坐标轴的交角相等，从而求得与坐标轴构成的三角形是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求得EF的长；
③根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC于R，此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，然后求得E、F的坐标，根据勾股定理即可求得．