解：（1）∵抛物线y=-
x
2+bx-
经过点A（7，6），
∴-
×7
2+7b-
=6，
解得b=
，
∴抛物线解析式是y=-
x
2+
x-
，
当y=0时，-
x
2+
x-
=0，
解得x
1=1，x
2=10，
∴点B、C的坐标分别为B（1，0），C（10，0）；
（2）设直线AB的解析式是y=kx+b，
则
，
解得
，
∴直线AB的解析式是y=x-1，
∴点P的坐标为（t，-
t
2+
t-
），点Q的坐标是（t，t-1），其中0＜t＜6，
PQ=-
t
2+
t-
-（t-1）=-
t
2+
t-
=-
（t-4）
2+3，
∴当t=4时，线段PQ有最长值，最长值为3；
（3）①0＜x≤3时，如图，延长AF交x轴与H，
△A′DE在梯形DBCE内部，重叠部分的面积等于△A′DE的面积
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=
，
即
=
，
解得DE=
x，
∴重叠部分的面积y=S
△A′DE=
DE•AF=
×
x×x=
x
2，（0＜x≤3），
∴当x=3时，y有最大值，最大值y=
×3
2=
，
②当3＜x＜6时，点A′在梯形DBCE的外部，重叠部分是一个梯形，如右图，
FH=AH-AF=6-x，A′H=A′F-FH=x-（6-x）=2x-6，
∵DE∥BC，
∴△A′MN∽△A′DE，
∴
=
，
即
=
，
解得MN=3x-9，
∴重叠部分的面积y=S
梯形MNED=
（MN+DE）•FH=
（3x-9+
x）（6-x）=
（x-4）
2+9，（3＜x＜6），
当x=4时，y有最大值，最大值y=9，
9＞
，
综上所述，当x=4时，△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积y有最大值，最大值是9．
分析：（1）把点A的坐标（7，6）代入抛物线解析式计算即可求出b的值，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可写出点B、C的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据抛物线的解析式与直线AB的解析式分别求出点P、与点Q的坐标，线段PQ的长就等于点P的纵坐标减点Q的纵坐标，整理后根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）因为AH的长度是6，所以①分0＜x≤3时，△A′DE在梯形DBCE内部，重叠部分的面积等于△A′DE的面积，②3＜x＜6时，点A′在梯形DBCE的外部，重叠部分是一个梯形，求出DE的长度，△A′DE在x轴上两交点之间的距离，以及梯形的高，然后根据梯形的面积公式列式并整理，再根据二次函数的最值问题进行求解，综合两种情况便不难求出最大面积y．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的计算方法、三角形相似、函数图象交点等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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（1）求b+c的值；
（2012•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．