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    如图，在直角坐标系内，O为坐标原点，点A的坐标为（1，0），点B在x轴上且在点A的右端，OA=AB，分别过点A、B作x轴的垂线，与二次函数y=x2的图象交于C、D两点，分别过点C、D作y轴的垂线，交y轴于点E、F，直线CD交y轴于点H．
    （1）验证：S矩形OACE：S梯形ECDF=2：9；
    （2）如果点A的坐标改为（t，0）（t＞0），其他条件不变，（1）的结论是否成立？请说明理由．
    （3）如果点A的坐标改为（t，0）（t＞0），二次函数改为y=ax2（a＞0），其他条件不变，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的横坐标为yH，试证明：xC•xD=-
    1
    a
    yH    ．
    （1）∵点A的坐标为（1，0），
    ∴OA=1，C（1，1），
    ∴S矩形OACE=1
    ∵OA=AB，
    ∴AB=1，
    ∴B（2，0），D（2，4）
    ∴S梯形ECDF=4.5，
    ∴S矩形OACE：S梯形ECDF=1：4.5=2：9；

    （2）（1）的结论仍然成立．
    ∵当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），
    ∴S矩形OACE=t3，S梯形ECDF=4.5t3，
    ∴S矩形OACE：S梯形ECDF=2：9

    （3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），
    设直线CD的解析式为y=kx+b，则：
    tk+b=at2
    2tk+b=4at2
    ，
    解得：
    k=3at
    b=-2at2
    ，
    ∴直线CD的函数解析式为y=3atx-2at2，则点H的坐标为（0，-2at2），yH=-2at2．
    ∵xC•xD=2t2，
    ∴xC•xD=-
    1
    a
    yH．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
    x…-3-2-101
    y…-60406
    （1）求二次函数解析式，并写出顶点坐标；
    （2）在直角坐标系中画出该抛物线的图象
    （3）若该抛物线上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的横坐标满足x1＜x2＜-1，试比较y1与y2的大小．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．
    （1）求二次函数的解析式和B的坐标；
    （2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
    （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    二次函数y=
    2
    3
    x2    的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数y=
    2
    3
    x2    位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A0B1A1的边长=______，△A2010B2011A2011的边长=______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
    （1）该抛物线G的解析式为______；
    （2）将直线L沿y轴向下平移______个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点；
    （3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长．
    （4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，直线y=-
    2
    3
    x+2    与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A（-1，0）．

    （1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
    （2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线a∥y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，△BCE的面积为S．
    ①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
    ②求S的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；
    （3）过点P作直线b∥x轴（图2），交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
    5
    6
    x2+
    13
    6
    x+c与y轴交于点D，与x轴负半轴交于点B（-1，0），直线y=
    1
    2
    x+b与抛物线交于A、B两点．作△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，连结CD交AB于点E．
    （1）求b、c的值；
    （2）求：①点A的坐标；②∠AEC的正切值；
    （3）将△BOD绕平面内一点旋转90°，使得该三角形的对应顶点中的两个点落在已知抛物线上（如图2），请直接写出旋转中心的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．

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