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【题目】已知如图,等腰中,于点,点延长线上一点,点是线段上一点,下面的结论:①;②是等边三角形;③;④.其中正确的是(

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【解析】

①连接BO,根据等腰三角形的性质可知AD垂直平分BC,从而得出BO=CO,又OP=OC,得到BO=OP,再根据等腰三角形的性质可得出结果;

②证明∠POC=60°,结合OP=OC,即可证得△OPC是等边三角形;

③在AC上截取AE=PA,连接PE,先证明△OPA≌△CPE,则AO=CEAC=AE+CE=AO+AP

④根据∠APO=ABO,∠DCO=DBO,因为点O是线段AD上一点,所以BO不一定是∠ABD的角平分线,可作判断.

解:①如图1,连接OB

AB=ACADBC

BD=CD,∠BAD=BAC=×120°=60°,

OB=OC,∠ABC=90°-BAD=30°,

OP=OC

OB=OC=OP

∴∠APO=ABO,∠DCO=DBO

∴∠APO+DCO=ABO+DBO=ABD=30°,故①正确;

②∵∠APC+DCP+PBC=180°,

∴∠APC+DCP=150°,

∵∠APO+DCO=30°,

∴∠OPC+OCP=120°,

∴∠POC=180°-(∠OPC+OCP=60°,

OP=OC

∴△OPC是等边三角形,故②正确;
③如图2,在AC上截取AE=PA,连接PE

∵∠PAE=180°-BAC=60°,

∴△APE是等边三角形,

∴∠PEA=APE=60°,PE=PA

∴∠APO+OPE=60°,

∵∠OPE+CPE=CPO=60°,

∴∠APO=CPE

OP=CP,在△OPA和△CPE中,

∴△OPA≌△CPESAS),

AO=CE

AC=AE+CE=AO+AP,故③正确;

④由①中可得,∠APO=ABO,∠DCO=DBO

∵点O是线段AD上一点,

∴∠ABO与∠DBO不一定相等,则∠APO与∠DCO不一定相等,故④不正确;

故①②③正确.
故选:A

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