Question

在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE，点G为DE中点，连接GA、GB、GC，GB与AC交于点H，过点B作BM垂直DE延长线于点M．
（1）求证：GA=GB；
（2）若AH=

3

CH，求证：AG=

2

BM．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质求得AD=BC，∠BCD=90°，然后根据直角三角形斜边上中线的性质求得CG=GE=GD，∠GCD=∠GDC，根据等量减等量求得∠BCG=∠ADG，根据SAS求得△ADG≌△BCG，从而证得GA=GB．
（2）过点H作HN⊥BC于N，根据正方形的性质可得△CHN为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得HN=CN，再根据平行线分线段成比例定理求出

BN

CN

=

3

，即

HN

BN

=

3

，然后求出∠HBN=30°，然后判断出△ABG是等边三角形，再求出∠AGD=75°，然后根据平角等于180°求出∠BGM=45°，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的

2

证明即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠BCD=90°，
又∵点G为DE中点，
∴CG=GE=GD，
∴∠GCD=∠GDC，
∴∠BCG=∠ADG，
在△ADG与△BCG中，

AD=BC ∠ADG=∠BCG DG=CG

，
∴△ADG≌△BCG（SAS），
∴GA=GB．

（2）证明：如图，过点H作HN⊥BC于N，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°，
∴△CHN为等腰直角三角形，
∴HN=CN，
易得AB∥HN，
∴

BN

CN

=

AH

CH

=

3

，
∴

HN

BN

=

3

，
∴∠HBN=30°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABG=90°-30°=60°，
∴△ABG是等边三角形，
由（1）知GA=GB，
∴AD=AG=AB，
∴∠AGD=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠BGM=180°-75°-60°=45°，
∵BM⊥E，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∴BG=

2

BM，
∴AG=

2

BM．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于（2）作辅助线构造出等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，求出∠HBN=30°是本题的难点，也是关键．