Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=30°，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于D，CD=3cm，
（1）求⊙O的直径；
（2）若动点M以3cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动，同时点N以1.5cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动．设运动的时间为t（0≤t≤2），连接MN，当t为何值时△BMN为直角三角形？并求此时该三角形的面积？

Answer 1

解：（1）连接OC，
∵CD为切线，
∴∠DCO=90°
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠ACO=30°
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，∠OCB=60°，
∴∠BCD=30°，∠ABC=60°，
∴∠BCD=∠A=30°，∠D=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD=，即AB=6cm．

（2）如图1：当∠BNM=90°时，MN∥AC，
∴，得t=1，即MN恰为△ACB的中位线，
∴=cm²，
当∠BMN=90°时，cos∠MBN=，
即cos60°=，解得t=1.6，
此时，MN=BM=（6-3t）=1.2，
S=×1.2×1.2=cm²．
分析：（1）根据圆与切线的位置关系，可知∠BCD=∠A=30°，且AB为直径，可推出AC=CD，再由三角函数关系可得出⊙O的直径．
（2）经分析，∠BNM或∠BMN可以为直角，即，此时MN∥AC，有速度关系可列出关系式．再根据面积公式即可算出．
点评：本题主要考查了圆切线的性质及相似三角形的性质，解题的关键是由MN∥AC，得出两组对应边的比相等从而解决问题．