Question

18．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．
（1）求证：四边形BEDF是正方形；
（2）若AB=6，BC=8，求正方形BEDF的边长；
（3）如图2，若AB=6，BC=8，另存在△ABC中的正方形MNPQ，其中PQ在边AC上，试比较图1与图2中两个正方形的面积的大小（S_{正方形BEDF}与S_{正方形MNPQ}的大小）

Answer 1

分析 （1）由角平分线的性质定理推出DE=DF，再证明四边形DEBF是矩形即可．
（2）设正方形DEBF的边长为x，由DF∥BC，推出$\frac{AF}{AB}$=$\frac{DF}{BC}$，列出方程即可解决问题．
（3）如图2中，作BH∵NM⊥AC于H，交MN于K，由MN∥AC，设正方形的边长为x．由△BMN∽△BAC，推出$\frac{MN}{AC}$=$\frac{BK}{BH}$，列出方程求出x，由此即可判断．

解答 解：（1）证明：如图1中，连接BD．


∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DF=DE，
∵∠DFB=∠DEB=∠EBF=90°，
∴四边形DEBF是矩形，∵DE=DF，
∴四边形DEBF是正方形．

（2）解：设正方形DEBF的边长为x，
∵DF∥BC，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{DF}{BC}$，
∴$\frac{6-x}{6}$=$\frac{x}{8}$，
∴x=$\frac{24}{7}$．

（3）解：如图2中，作BH∵NM⊥AC于H，交MN于K，设正方形的边长为x．


在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，∵$\frac{1}{2}$•AC•BH=$\frac{1}{2}$•AB•CB，
∴BH=$\frac{24}{5}$，
∵MN∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴$\frac{MN}{AC}$=$\frac{BK}{BH}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}$，
∴x=$\frac{120}{37}$，
∵$\frac{24}{7}$＞$\frac{120}{37}$，
∴S_{正方形BEDF}＞S_{正方形MNPQ}．

点评 本题考查四边形综合题、极品飞车的性质定理、正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．