Question

已知抛物线C₁：y=a（x+1）²﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．

（1）求A点的坐标和抛物线C₁的解析式；

（2）如图1，将抛物线C₁向下平移2个单位后得到抛物线C₂，且抛物线C₂与直线AB相交于C，D两点，求S_△OAC：S_△OAD的值；

（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C₂对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．

　

 

Answer 1

【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性．

【专题】压轴题；存在型．

【分析】（1）由抛物线的顶点式易得顶点A坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．

（2）根据平移法则求出抛物线C₂的解析式，用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过解方程组求出抛物线C₂与直线AB的交点C、D的坐标，就可以求出S_△OAC：S_△OAD的值．

（3）设直线m与y轴交于点G，直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形形状、位置随着点G的变化而变化，故需对点G的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标，从而求出相应的直线m的解析式．

【解答】解：（1）∵抛物线C₁：y=a（x+1）²﹣2的顶点为A，

∴点A的坐标为（﹣1，﹣2）．

∵抛物线C₁：y=a（x+1）²﹣2经过点B（﹣2，﹣1），

∴a（﹣2+1）²﹣2=﹣1．

解得：a=1．

∴抛物线C₁的解析式为：y=（x+1）²﹣2．

 

（2）∵抛物线C₂是由抛物线C₁向下平移2个单位所得，

∴抛物线C₂的解析式为：y=（x+1）²﹣2﹣2=（x+1）²﹣4．

设直线AB的解析式为y=kx+b．

∵A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1），

∴

解得：

∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3．

联立

解得：或．

∴C（﹣3，0），D（0，﹣3）．

∴OC=3，OD=3．

过点A作AE⊥x轴，垂足为E，

过点A作AF⊥y轴，垂足为F，

∵A（﹣1，﹣2），

∴AF=1，AE=2．

∴S_△OAC：S_△OAD

=（OC•AE）：（OD•AF）

=（×3×2）：（×3×1）

=2．

∴S_△OAC：S_△OAD的值为2．

 

（3）设直线m与y轴交于点G，设点G的坐标为（0，t）．

1．当直线m与直线l平行时，则有CG∥PQ．

∴△OCG∽△OPQ．

∴=．

∵P（﹣4，0），Q（0，2），

∴OP=4，OQ=2，

∴=．

∴OG=．

∵当t=时，直线m与直线l平行，

∴直线l，m与x轴不能构成三角形．

∴t≠．

2．当直线m与直线l相交时，设交点为H，

①t＜0时，如图2①所示．

∵∠PHC＞∠PQG，∠PHC＞∠QGH，

∴∠PHC≠∠PQG，∠PHC≠∠QGH．

当∠PHC=∠GHQ时，

∵∠PHC+∠GHQ=180°，

∴∠PHC=∠GHQ=90°．

∵∠POQ=90°，

∴∠HPC=90°﹣∠PQO=∠HGQ．

∴△PHC∽△GHQ．

∵∠QPO=∠OGC，

∴tan∠QPO=tan∠OGC．

∴=．

∴=．

∴OG=6．

∴点G的坐标为（0，﹣6）

设直线m的解析式为y=mx+n，

∵点C（﹣3，0），点G（0，﹣6）在直线m上，

∴．

解得：．

∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6，

联立，

解得：或

∴E（﹣1，﹣4）．

此时点E就是抛物线的顶点，符合条件．

∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6．

②当t=0时，

此时直线m与x轴重合，

∴直线l，m与x轴不能构成三角形．

∴t≠0．

③O＜t＜时，如图2②所示，

∵tan∠GCO==＜，

tan∠PQO===2，

∴tan∠GCO≠tan∠PQO．

∴∠GCO≠∠PQO．

∵∠GCO=∠PCH，

∴∠PCH≠∠PQO．

又∵∠HPC＞∠PQO，

∴△PHC与△GHQ不相似．

∴符合条件的直线m不存在．

④＜t≤2时，如图2③所示．

∵tan∠CGO==≥，

tan∠QPO===．

∴tan∠CGO≠tan∠QPO．

∴∠CGO≠∠QPO．

∵∠CGO=∠QGH，

∴∠QGH≠∠QPO，

又∵∠HQG＞∠QPO，

∴△PHC与△GHQ不相似．

∴符合条件的直线m不存在．

⑤t＞2时，如图2④所示．

此时点E在对称轴的右侧．

∵∠PCH＞∠CGO，

∴∠PCH≠∠CGO．

当∠QPC=∠CGO时，

∵∠PHC=∠QHG，∠HPC=∠HGQ，

∴△PCH∽△GQH．

∴符合条件的直线m存在．

∵∠QPO=∠CGO，∠POQ=∠GOC=90°，

∴△POQ∽△GOC．

∴=．

∴=．

∴OG=6．

∴点G的坐标为（0，6）．

设直线m的解析式为y=px+q

∵点C（﹣3，0）、点G（0，6）在直线m上，

∴．

解得：．

∴直线m的解析式为y=2x+6．

综上所述：存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似，

此时直线m的解析式为y=﹣2x﹣6和y=2x+6．

【点评】本题考查了二次函数的有关知识，考查了三角形相似的判定与性质、三角函数的定义及增减性等知识，考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，考查了通过解方程组求两个函数图象的交点，强化了对运算能力、批判意识、分类讨论思想的考查，具有较强的综合性，有一定的难度．