Question

△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于点D，M为

AB

的中点，连AM、BM．
（1）求证：∠ACD=∠BCO；
（2）过M作ME⊥BC于E，若∠ACB=60°，S_{四边形ACBM}=

3

，求CE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）延长CO到⊙O上一点F，连接FB，利用圆周角定理得出∠FBC=90°，进而得出答案；
（2）首先过点M作MQ⊥CA延长线于点Q，得出Rt△QAM≌Rt△BEM（HL），进而得出Rt△QCM≌Rt△ECM（HL），求出S_△QCM=S_△ECM=

3

2

，进而得出即可．

解答：（1）证明：如图1，延长CO到⊙O上一点F，连接FB，
∵FC是⊙O直径，
∴∠FBC=90°，
∵∠CFB=∠CAB，∠ADC=∠CBF=90°，
∴∠ACD=∠BCO；

（2）解：如图2：

过点M作MQ⊥CA延长线于点Q，
∵M为

AB

的中点，
∴

AM

=

BM

，
∴AM=BM，∠ACM=∠BCM=30°，
∵MQ⊥AC，ME⊥BC，∠ACM=∠BCM，
∴QM=ME，
在Rt△QAM和Rt△BEM中
∵

QM=ME AM=BM

，
∴Rt△QAM≌Rt△BEM（HL），
∴S_{四边形ACBM}=S_{四边形QCEM}=

3

，
在Rt△QCM和Rt△ECM中
∵

MC=MC MQ=ME

∴Rt△QCM≌Rt△ECM（HL），
∴S_△QCM=S_△ECM=

3

2

，
设EC=x，则

ME

EC

=tan30°=

3

3

，故ME=

3

3

EC=

3

3

x，
则

1

2

×x×

3

3

x=

3

2

，
解得：x=±

3

（负数舍去），
即EC的长为

3

．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，得出S_△QCM=S_△ECM=

3

2

是解题关键．