Question

18．如图所示，BD、CE分别是△ABC的高．
（1）求证：B、C、D、E四点在同一个圆上；
（2）∠ABC=60°，CE=12，试求过B、C、D、E四点的圆的半径．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点O，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得OE=OB=OC=OD后即可求证B、C、D、E四点在同一个圆上．
（2）解直角三角形即可求得直径，进而求得半径．

解答 （1）证明：取BC的中点O，连接OD，OE．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴OD，OE分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴OD=OE=OB=OC．
∴B、C、D、E四点在以O点为圆心，$\frac{1}{2}$BC为半径的圆上．
（2）解：∵∠BEC=90°，
∴BC是圆的直径，
∵∠ABC=60°，CE=12，
∴BC=$\frac{CE}{sin60°}$=$\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8$\sqrt{3}$，
∴圆的半径为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的认识，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等；也考查了直角三角形斜边中线的性质以及解直角三角形等．