Question

2．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系内，AB∥CD∥x轴，AD∥BC∥x轴，点A、C都在双曲线$y=-\frac{1}{x}$上，且横坐标分别为a、c，线段AC=2AO．
（1）求直线OD的解析式（用含a、c的代数式表示）；
（2）判断点B是否在直线OD上，并说明理由；
（3）如图，设M是x轴上一点，当∠DOM=25°时，求∠AOM的度数．

Answer 1

分析 （1）根据题意表示出A、C两点坐标，然后再表示出D点坐标，再设直线OD的解析式为y=kx，然后利用待定系数法可求出k，进而可得直线DO的解析式；
（2）根据A、C两点坐标，表示出B点坐标，再代入直线DO的解析式，能满足解析式，则B在直线OD上；
（3）首先根据矩形的性质可得AO′=CO′=$\frac{1}{2}$AC，BO′=AB，进而可得AO=AO′，进而可得∠3=∠4，然后再计算出∠1=∠2=25°，可得∠3的度数，从而可得∠4的度数，进而可得答案．

解答 解：（1）∵点A、C都在双曲线$y=-\frac{1}{x}$上，且横坐标分别为a、c，
∴A（a，-$\frac{1}{a}$），C（c，-$\frac{1}{c}$），
∵CD∥x轴，AD∥y轴，
∴D（a，-$\frac{1}{c}$），B（c，-$\frac{1}{a}$），
设直线OD的解析式为y=kx，
∴-$\frac{1}{c}$=ak，
解得：k=-$\frac{1}{ac}$，
∴OD的解析式为y=-$\frac{1}{ac}$x；

（2）∵当x=c时，y=-$\frac{1}{ac}$×c=-$\frac{1}{a}$，
∴B在直线OD上；

（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴AO′=CO′=$\frac{1}{2}$AC，BO′=AB，
∴∠1=∠2，
∵AB∥x轴，
∴∠2=∠MOD=25°，
∴∠1=25°，
∴∠3=50°，
∵AC=2AO，
∴AO′=AO，
∴∠3=∠4=50°，
∴∠MOA=25°+50°=75°．

点评 此题主要考查了反比例函数和矩形性质的应用，关键是正确表示出A、C两点坐标，从而得到D、B两点坐标，掌握凡是函数经过的点必能满足解析式，矩形对角线相等且互相平分．