Question

【题目】如图所示，在 中，∠C＝90°，∠A＝30°．

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE，求证：EF＝2DE．

Answer 1

【答案】
（1）

解答：解：如下图所示，直线l即为所求．

（2）

解答：证明：在 中，∵∠A＝30°，∠ABC＝60°．又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A=30°，∠AED＝∠BED=60°，∴∠EBC＝30°＝∠EBA，∠FEC＝60°．又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC．在 中，∠FEC＝60°，∴∠EFC＝30°，∴EF＝2EC，∴EF＝2ED

【解析】由∠A＝30°可证∠F＝30°，因而EF＝2EC，要证EF＝2DE，只要证明EC＝DE就可以．
【考点精析】解答此题的关键在于理解线段垂直平分线的性质的相关知识，掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．