Question

2．已知：正方形ABCD和RT△BEF，BE=EF，G是DF中点，判断EG和CG的关系并说明理由．

Answer 1

分析 连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，由G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，想办法证明△MEG≌△OGC，得到EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°．

解答 解：结论：EG=CG且EG⊥CG．
理由：连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，

∵G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，
∴OG∥BF，GM∥OB，
∴四边形OGMB为平行四边形，
∴OG=BM，GM=OB，
而EM=BM，OC=OB，
∴EM=OG，MG=OC，
∵∠DOG=∠GMF，
而∠DOC=∠EMF=90°，
∴∠EMG=∠GOC，
∴△MEG≌△OGC，
∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，
又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，
∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，
∴EG=CG且EG⊥CG．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、三角形中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及正方形的性质．