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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线的顶点是A(13),将OA绕点O逆时针旋转后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C

1)求抛物线的解析式;

2P是线段AC上一动点,且不与点AC重合,过点P作平行于x轴的直线,与的边分别交于MN两点,将以直线MN为对称轴翻折,得到

设点P的纵坐标为m

①当内部时,求m的取值范围;

②是否存在点P,使,若存在,求出满足m的值;若不存在,请说明理由.

【答案】;(2)①;②存在,满足m的值为

【解析】

1)作ADy轴于点D,作BEx轴于点E,然后证明△AOD≌△BOE,则AD=BEOD=OE,即可得到点B的坐标,然后利用待定系数法,即可求出解析式;

2)①由点P为线段AC上的动点,则讨论动点的位置是解题的突破口,有点P与点A重合时;点P与点C重合时,两种情况进行分析计算,即可得到答案;

②根据题意,可分为两种情况进行当点M在线段OA上,点NAB上时;当点M在线段OB上,点NAB上时;先求出直线OA和直线AB的解析式,然后利用m的式子表示出两个三角形的面积,根据等量关系列出方程,解方程即可求出m的值.

解:(1)如图:作ADy轴于点D,作BEx轴于点E

∴∠ADO=BEO=90°,

∵将OA绕点O逆时针旋转后得到OB

OA=OB,∠AOB=90°,

∴∠AOD+AOE=BOE+AOE=90°,

∴∠AOD=BOE

∴△AOD≌△BOE

AD=BEOD=OE

∵顶点A为(13),

AD=BE=1OD=OE=3

∴点B的坐标为(3),

设抛物线的解析式为

把点B代入,得

∴抛物线的解析式为

2)①∵P是线段AC上一动点,

∵当内部时,

当点恰好与点C重合时,如图:

∵点B为(3),

∴直线OB的解析式为

,则

∴点C的坐标为(1),

AC=

PAC的中点,

AP=

m的取值范围是

②当点M在线段OA上,点NAB上时,如图:

∵点P在线段AC上,则点P为(1m),

∵点与点A关于MN对称,则点的坐标为(12m3),

设直接OA,直线AB

分别把点A,点B代入计算,得

直接OA;直线AB

则点M的横坐标为,点N的横坐标为

又∵

解得:(舍去);

当点M在边OB上,点N在边AB上时,如图:

代入,则

解得:(舍去);

综合上述,m的值为:

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1)求抛物线的解析式.

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