【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线的顶点是A(1,3),将OA绕点O逆时针旋转后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与的边分别交于M,N两点,将以直线MN为对称轴翻折,得到.
设点P的纵坐标为m.
①当在内部时,求m的取值范围;
②是否存在点P,使,若存在,求出满足m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】;(2)①;②存在,满足m的值为或.
【解析】
(1)作AD⊥y轴于点D,作BE⊥x轴于点E,然后证明△AOD≌△BOE,则AD=BE,OD=OE,即可得到点B的坐标,然后利用待定系数法,即可求出解析式;
(2)①由点P为线段AC上的动点,则讨论动点的位置是解题的突破口,有点P与点A重合时;点P与点C重合时,两种情况进行分析计算,即可得到答案;
②根据题意,可分为两种情况进行当点M在线段OA上,点N在AB上时;当点M在线段OB上,点N在AB上时;先求出直线OA和直线AB的解析式,然后利用m的式子表示出两个三角形的面积,根据等量关系列出方程,解方程即可求出m的值.
解:(1)如图:作AD⊥y轴于点D,作BE⊥x轴于点E,
∴∠ADO=∠BEO=90°,
∵将OA绕点O逆时针旋转后得到OB,
∴OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°,
∴∠AOD=∠BOE,
∴△AOD≌△BOE,
∴AD=BE,OD=OE,
∵顶点A为(1,3),
∴AD=BE=1,OD=OE=3,
∴点B的坐标为(3,),
设抛物线的解析式为,
把点B代入,得
,
∴,
∴抛物线的解析式为,
即;
(2)①∵P是线段AC上一动点,
∴,
∵当在内部时,
当点恰好与点C重合时,如图:
∵点B为(3,),
∴直线OB的解析式为,
令,则,
∴点C的坐标为(1,),
∴AC=,
∵P为AC的中点,
∴AP=,
∴,
∴m的取值范围是;
②当点M在线段OA上,点N在AB上时,如图:
∵点P在线段AC上,则点P为(1,m),
∵点与点A关于MN对称,则点的坐标为(1,2m3),
∴,,
设直接OA为,直线AB为,
分别把点A,点B代入计算,得
直接OA为;直线AB为,
令,
则点M的横坐标为,点N的横坐标为,
∴;
∵;
;
又∵,
∴,
解得:或(舍去);
当点M在边OB上,点N在边AB上时,如图:
把代入,则,
∴,,
∴,
,
∵,
∴,
解得:或(舍去);
综合上述,m的值为:或.
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【题目】为报答当年5.12汶川地震各地的驰援深情,四川某农产品公司决定将本公司农业基地生产的蔬菜水果全部运到湖北武汉,支援武汉人民抗击新冠疫情.为了运输的方便,将蔬菜和水果分别打包成件,蔬菜和水果共260件,蔬菜比水果多40件.
(1)求打包成件的蔬菜和水果各多少件?
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批物资全部运往武汉.已知甲种货车最多可装蔬菜30件和水果13件,乙种货车最多可装蔬菜和水果各15件.如果甲种货车每辆需付运输费3000元,乙种货车每辆需付运输费2400元.则公司安排甲、乙两种货车时有几种方案?并说明公司选择哪种方案可使运输费最少?
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【题目】王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本,中性笔每支1元,笔记本每本3元,王芳同学现有10元钱,则可供她选择的购买方案的个数为(两样都买,余下的钱少于1元)( )
A.2B.3C.4D.5
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【题目】我们把分子为1的分数叫做单位分数,如:,,,任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和,如“=+”,“=+”……
(1)根据对上述式子的观察,你会发现.=·请将问题中的空格补充完整.
(2)进一步思考,单位分数(n是不小于2的正整数),请写出■和●所表示的代数式,并对你的结论进行验证.
(3)请用(2)中你找出的规律解方程
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【题目】在平面直角坐标系中,为坐标原点,抛物线分别交轴正半轴于点,交轴负半轴于点,与轴负半轴交于点,且.
(1)如图1,求的值;
(2)如图,是第一象限抛物线上的点,连,过点作轴,交的延长线于点,连接交于点,若,求点的坐标以及的值;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接,是第一象限抛物线上的点(点与点不重合),过点作的垂线,交轴于点,点在轴上(点在点的左侧),,点在直线上,连接、.若,,求点的坐标.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,﹣3),顶点D的坐标为(1,﹣4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在y轴上找一点E,使得△EAC为等腰三角形,请直接写出点E的坐标.
(3)点P是x轴上的动点,点Q是抛物线上的动点,是否存在点P、Q,使得以点P、Q、B、D为顶点,BD为一边的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P、Q坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】人字折叠梯完全打开后如图1所示,B,C是折叠梯的两个着地点,D是折叠梯最高级踏板的固定点.图2是它的示意图,AB=AC,BD=140cm,∠BAC=40°,求点D离地面的高度DE.(结果精确到0.1cm;参考数据sin70°≈0. 94,cos70°≈0.34,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94)
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【题目】如图,以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=25,BC=,求DE的长.
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