Question

9．如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．
求证：（1）AB∥CD；
（2）∠2+∠3=90°．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线得：∠ABD=2∠1，∠CDB=2∠2，由∠1+∠2=90°得：∠ABD+∠CDB=180°，则AB∥CD；
（2）由平行线的性质得：∠3=∠ABF，由角平分线定义得∠1=∠ABF，则∠1=∠3，再由三角形内角和可得结论．

解答 证明：（1）∵∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，
∴∠ABD=2∠1，∠CDB=2∠2，
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABD+∠CDB=2∠1+2∠2=180°，
∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，
∴∠3=∠ABF，
∵∠1=∠ABF，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠FDE，∠1+∠3+∠2+∠FDE=180°，
∴2∠3+2∠2=180°，
∴∠3+∠2=90°．

点评 本题考查了平行线的判定、角平分线的定义、三角形内角和定理，属于基础题，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，难度适中．