Question

9．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？

Answer 1

分析 设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$时，△BPQ∽△BAC，即$\frac{8-2t}{8}$=$\frac{4t}{16}$；当$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$时，△BPQ∽△BCA，即$\frac{8-2t}{16}$=$\frac{4t}{8}$，然后方程解方程即可．

解答 解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴当$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$时，△BPQ∽△BAC，即$\frac{8-2t}{8}$=$\frac{4t}{16}$，解得t=2（s）；
当$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$时，△BPQ∽△BCA，即$\frac{8-2t}{16}$=$\frac{4t}{8}$，解得t=0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．