Question

17．如图：E、A、C三点在同一条直线上，三角形ABC和三角形CDE是顶角相等的等腰三角形，其中BC和CD为等腰三角形的底边，F是AE的中点，P是BC边的中点，Q是CD边的中点．
（1）求证：FP=FQ；
（2）求证：∠PFQ=∠A．

Answer 1

分析 （1）延长FA．使AM=EC，连接BM、MD，根据三角形的中位线定理可得出PF∥BM、FQ∥MD、BM=2PF、MD=2FQ，由∠BAC=∠CED可得出∠BAM=∠MED，再根据等腰三角形的性质可得出AB=EM、AM=ED，由此利用全等三角形的判定定理SAS可证出△ABM≌△EMD，根据全等三角形的性质可得出BM=MD，进而可证出FP=FQ；
（2）根据全等三角形的性质可得出∠ABM=∠EMD，再根据三角形的外角性质结合平行线的性质可证出∠PFQ=∠BAC．

解答 证明：（1）延长FA．使AM=EC，连接BM、MD，如图所示．
∵F是AE的中点，AM=EC，
∴点F为CM的中点．
∵P是BC边的中点，Q是CD边的中点，
∴PF∥BM，FQ∥MD，BM=2PF，MD=2FQ．
∵∠BAC=∠CED，
∴∠BAM=∠MED．
∵AB=AC=AE+EC，AM=EC，EC=ED，EM=AE+AM，
∴AB=EM，AM=ED．
在△ABM和△EMD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=EM}\\{∠BAM=∠MED}\\{AM=ED}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△EMD（SAS），
∴BM=MD，
∴FP=FQ．
（2）∵△ABM≌△EMD，
∴∠ABM=∠EMD．
∵∠BAC=∠ABM+∠BMA，
∴∠BAC=∠EMD+∠BMA．
∵PF∥BM，FQ∥MD，
∴∠BMA=∠PFC，∠EMD=∠CFQ，
∴∠PFQ=∠PDC+∠CFQ=∠BAC．

点评 本题考查了三角形中位线定理．全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS证出△ABM≌△EMD；（2）利用全等三角形的性质找出∠ABM=∠EMD．