Question

7．△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．
（1）如果△ABC的面积与梯形BCED的面积相同，求DE的长；
（2）如果△ABC的周长与梯形BCED的周长相同，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，又由△ADE的面积与四边形BCED的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解决问题；
（2）根据△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，可得AE+AD=BC+CE+DB，不妨设AE+AD=a，CE+DB=b，由题意可得到a和b的方程组，解方程组可求出a的值，再根据相似三角形的性质即可求出DE的长．

解答 解：（1）解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵△ADE的面积与四边形BCED的面积相等，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（ $\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴DE=3$\sqrt{2}$．

（2）解：∵△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，
∴AD+AE+ED=BC+EC+DE+DB，即AE+AD=BC+CE+DB，
不妨设AE+AD=a，CE+DB=b，则 $\left\{\begin{array}{l}{a+b=11}\\{a-b=7}\end{array}\right.$，
解得a=9，b=2
即AE+AD=9①，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{6}{5}$ ②，
由①②，得到AE=$\frac{54}{11}$，
∵$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴DE=$\frac{63}{11}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、二元一次方程组等知识，解题的关键是注意相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，学会利用参数构建方程组，注意数形结合思想的应用．