Question

17．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于$\frac{1}{2}$BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN，分别交AB，BC于点D和E，连接CD．
（1）直线MN垂直平分线段BC吗？请说明理由．
（2）若D是AB的中点，且∠B=35°，求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）根据线段的垂直平分线的定义，只要证明点M、点N在线段BC的垂直平分线上即可；
（2）求出∠ADC，再根据等腰三角形的性质即可解决问题；

解答 解：（1）∵MN垂直平分线段BC．
理由：连接BM、BN、MC、NC．
由作图可知：BM=CM=BN=CN，
∴点M、点N在线段BC的垂直平分线上，
∴MN垂直平分线段BC．

（2）∵MN垂直平分BC，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B，
∵∠ABC=35°，
∴∠DCB=35°，
∴∠BDC=180°-35°-35°=110°，
∴∠ADC=70°，
∵D是AB中点，
∴BD=DA，
∴CD=DA，
∴∠A=∠ACD=$\frac{180°-70°}{2}$=55°

点评 本题考查线段的垂直平分线的作法、线段垂直平分线的性质等、等腰三角形的性质知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．