Question

5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5$\sqrt{2}$，则BD的长为$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC²=AB²+BC²=25，求出AC²+CD²=AD²，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出CM=AB=3，DM=BC=4，得出BM=BC+CM=7，再由勾股定理求出BD即可．

解答 解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：

则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC²=AB²+BC²=25，
∴AC=5，
∵AD=5$\sqrt{2}$，CD=5，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
在△ABC和△CMD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠CDM}\\{∠ABC=∠M}\\{AC=CD=5}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△CMD，
∴CM=AB=3，DM=BC=4，
∴BM=BC+CM=7，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
故答案为：$\sqrt{65}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．