Question

15．如图，在平面直角坐标系中，点A₁，A₂，A₃，A₄，…都在x轴上，点B₁，B₂，B₃，…都在直线y=x上，△OA₁B₁，△B₁A₁A₂，△B₂B₁A₂，△B₂A₃A₃，△B₃B₂A₃…都是等腰直角三角形，且OA₁=1，则点B₂₀₁₇的坐标为（2²⁰¹⁶，2²⁰¹⁶）．

Answer 1

分析 根据OA₁=1，可得点A₁的坐标为（1，0），然后根据△OA₁B₁，△B₁A₁A₂，△B₂B₁A₂，△B₂A₂A₃，△B₃B₂A₃…都是等腰直角三角形，求出A₁A₂，B₁A₂，A₂A₃，B₂A₃…的长度，然后找出规律，求出点B₂₀₁₇的坐标．

解答 解：∵OA₁=1，
∴点A₁的坐标为（1，0），
∵△OA₁B₁是等腰直角三角形，
∴A₁B₁=1，
∴B₁（1，1），
∵△B₁A₁A₂是等腰直角三角形，
∴A₁A₂=1，B₁A₂=$\sqrt{2}$，
∵△B₂B₁A₂为等腰直角三角形，
∴A₂A₃=2，
∴B₂（2，2），
同理可得，B₃（2²，2²），B₄（2³，2³），…B_n（2^n-1，2^n-1），
∴点B₂₀₁₇的坐标是（2²⁰¹⁶，2²⁰¹⁶）．
故答案是：（2²⁰¹⁶，2²⁰¹⁶）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等腰直角三角形的性质．